Question

已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列．又bn=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）證明{b_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）如果數(shù)列{b_n}前3項(xiàng)的和等于

7

24

，求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d．

Answer 1

分析：（1）先設(shè){a_n}中首項(xiàng)為a₁，公差為d，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2lga₂=lga₁+lga₄，把a(bǔ)₁和d關(guān)系找出來(lái)，即d=0或d=a₁，然后對(duì)d的兩種情況進(jìn)行討論即可確定答案．
（2）當(dāng)d=0時(shí)根據(jù)b₁+b₂+b₃可求得a₁；當(dāng)d=a₁時(shí)，根據(jù)b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，再根據(jù)b₁+b₂+b₃=

7

24

，求得a₁．

解答：（1）證明：設(shè){a_n}中首項(xiàng)為a₁，公差為d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差數(shù)列
∴2lga₂=lga₁+lga₄
∴a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
∴d=0或d=a₁
當(dāng)d=0時(shí)，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，
∴

bn+1

bn

=1，
∴{b_n}為等比數(shù)列；
當(dāng)d=a₁時(shí)，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，
∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∴{b_n}為等比數(shù)列
綜上可知{b_n}為等比數(shù)列
（2）當(dāng)d=0時(shí)，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，
∴b₁+b₂+b₃=

3

a1

=

7

24

∴a₁=

72

7

；
當(dāng)d=a₁時(shí)，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

∴b₁+b₂+b₃=

1

2a1

+

1

4a1

+

1

8a1

=

7

8a1

=

7

24

∴a₁=3
綜上可知

a1= 72 7 d=0

或

a1=3 d=3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)．涉及數(shù)列的公式多，復(fù)雜多樣，故應(yīng)多下點(diǎn)功夫記憶．