Question

在平面直角坐標系xoy中，給定三點A(0，

4

3

)，B(-1，0)，C(1，0)，點P到直線BC的距離是該點到直線AB，AC距離的等比中項．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線L經(jīng)過△ABC的內(nèi)心（設為D），且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為y=

4

3

(x+1)，y=-

4

3

(x-1)，y=0．點P（x，y）到AB、AC、BC的距離依次為d1=

1

5

|4x-3y+4|，d2=

1

5

|4x+3y-4|，d3=|y|．由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）點P的軌跡包含圓S：2x²+2y²+3y-2=0與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0．△ABC的內(nèi)心D也是適合題設條件的點，由d₁=d₂=d₃，解得D(0，

1

2

)．設L的方程為y=kx+

1

2

．再分情況討論能夠求出直線L的斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為y=

4

3

(x+1)，y=-

4

3

(x-1)，y=0．點P（x，y）到AB、AC、BC的距離依次為d1=

1

5

|4x-3y+4|，d2=

1

5

|4x+3y-4|，d3=|y|．依設，d₁d₂=d₃²，得|16x²-（3y-4）²|=25y²，即16x²-（3y-4）²+25y²=0，或16x²-（3y-4）²-25y²=0，化簡得點P的軌跡方程為
圓S：2x²+2y²+3y-2=0與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0
（Ⅱ）由前知，點P的軌跡包含兩部分
圓S：2x²+2y²+3y-2=0①
與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0②△ABC的內(nèi)心D也是適合題設條件的點，由d₁=d₂=d₃，解得D(0，

1

2

)，且知它在圓S上．直線L經(jīng)過D，且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設L的方程為y=kx+

1

2

③
（i）當k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線y=

1

2

平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點．
（ii）當k≠0時，L與圓S有兩個不同的交點．這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：
情況1：直線L經(jīng)過點B或點C，此時L的斜率k=±

1

2

，直線L的方程為x=±（2y-1）．代入方程②得y（3y-4）=0，解得E(

5

3

，

4

3

)或F(-

5

3

，

4

3

)．表明直線BD與曲線T有2個交點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F．
故當k=±

1

2

時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點．（11分）
情況2：直線L不經(jīng)過點B和C（即k≠±

1

2

），因為L與S有兩個不同的交點，所以L與雙曲線T有且只有一個公共點．即方程組

8x2-17y2+12y-8=0 y=kx+ 1 2

有且只有一組實數(shù)解，消去y并化簡得(8-17k2)x2-5kx-

25

4

=0
該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是8-17k²=0④
或(-5k)2+4(8-17k2)

25

4

=0⑤
解方程④得k=±

2 34

17

，解方程⑤得k=±

2

2

．
綜合得直線L的斜率k的取值范圍{0，±

1

2

，±

2 34

17

，±

2

2

}．（14分）

點評：求題考查點的軌跡方程的求法和求L的斜率k的取值范圍，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用，利用圓錐曲線的性質(zhì)恰當?shù)剡M行等價轉(zhuǎn)化．