Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當x＞0時，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，則方程f（x）=0的實數(shù)根的個數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：利用函數(shù)零點的判定定理及在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性即可判斷出此區(qū)間上的個數(shù)，進而根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可判斷出在區(qū)間（-∞，0）上零點的個數(shù)，又f（0）=0，從而得出函數(shù)f（x）所有零點的個數(shù)即方程f（x）=0的個數(shù)．
解答：①∵f（x）定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，0是方程f（x）=0的一個實數(shù)根；
②當x＞0時，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，由y=2012^x及y=log₂₀₁₂x在（0，+∞）上單調(diào)遞增可知：函數(shù)f（x）在
（0，+∞）上單調(diào)遞增．由當x→0時，f（x）→-∞，而f（1）=2012+0＞0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一零點．
③當x＜0時，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上有唯一零點．
綜上可知：方程f（x）=0的實數(shù)根的個數(shù)是3．
故選C．
點評：熟練掌握函數(shù)零點的判定定理、函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)的對稱性是解題的關鍵．