Question

（本小題滿分14分）

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知，M為A₁B與AB_１的交點(diǎn)，N為棱B₁C₁的中點(diǎn)

（１）   求證：MN∥平面AA_１C_１C

（２）   若AC＝AA₁，求證：MN⊥平面A₁BC

 

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】本試題主要是考查了線面平行的證明與線面垂直的證明的綜合運(yùn)用。

（1）線面平行的證明關(guān)鍵是證明線線平行，結(jié)合判定定理得到結(jié)論。

（2）對(duì)于線面垂直的判定，我們可以利用線線垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于某個(gè)平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則線面垂直的定理得到。

⑴連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image002.png">為與的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn).所以∥，………………………４分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image009.png">平面，平面，

所以∥平面. …………………………6分

⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image013.png">，所以四邊形是正方形，

所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image015.png">是直三棱柱，

所以平面，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image018.png">平面，所以．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image020.png">，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image022.png">，所以平面，

所以,又平面，………………………………………………8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501383820789101_DA.files/image007.png">∥，所以，， ………………………………10分

又，所以平面.……………………………………………14分