Question

在三棱錐P-ABC中，△PAC和△PBC都是邊長為

2

的等邊三角形，AB=2，O，D分別是AB，PB的中點．
（1）求證：OD∥平面PAC；
（2）求證：PO⊥平面ABC；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（1）由三角形中位線定理，得出OD∥PA，結合線面平行的判定定理，可得OD∥平面PAC；
（2）等腰△PAB和等腰△CAB中，證出PO=OC=1，而PC=

2

，由勾股定理的逆定理，得PO⊥OC，結合PO⊥AB，可得PO⊥平面ABC；
（3）由（2）易知PO是三棱錐P-ABC的高，算出等腰△ABC的面積，再結合錐體體積公式，可得三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：（1）∵O，D分別為AB，PB的中點，∴OD∥PA
又PA?平面PAC，OD?平面PAC
∴OD∥平面PAC．…（4分）
（2）如圖，連接OC
∵AC=CB=

2

，O為AB中點，AB=2，
∴OC⊥AB，且OC=

AC2-( 1 2 AB)2

=1．
同理，PO⊥AB，PO=1．…（6分）
又∵PC=

2

，
∴PC²=2=OC²+PO²，得∠POC=90°．
∴PO⊥OC．
∵OC、AB⊆平面ABC，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC．…（8分）
（3）∵PO⊥平面ABC，∴OP為三棱錐P-ABC的高，
結合OP=1，得棱錐P-ABC的體積為VP-ABC=

1

3

S△ABC•OP=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

． …（12分）

點評：本題給出特殊三棱錐，求證線面平行、線面垂直并求錐體體積，考查了線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．