Question

函數(shù)f（x）=（0＜x＜1）的反函數(shù)為f^-1（x），數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：，a_n+1=f^-1（a_n），函數(shù)y=f^-1（x），的圖象在點(diǎn)（n，f^-1（n））（n∈N^*）處的切線在y軸上的截距為b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{-}的項(xiàng)中僅-最小，求λ的取值范圍；
（3）令函數(shù)g（x）=[f^-1（x）+f（x）]-，0＜x＜1．?dāng)?shù)列{x_n}滿足：x₁=，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n）（其中n∈N^*）．證明：++…+＜．

Answer 1

解：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函數(shù)f（x）的反函數(shù)．
則，得．∴是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故．
（2）∵，∴，∴y=f^-1（x）在點(diǎn)（n，f^-1（n））處的切線方程為，令x=0得．
∴．
∵僅當(dāng)n=5時(shí)取得最小值，∴．
∴λ的取值范圍為（9，11）．
（3）．
所以，又因0＜x_n＜1，則x_n+1＞x_n．顯然．
∴
∴=∵，
∴，∴∴．
分析：（1）令，解得；由0＜x＜1，解得y＞0．所以函數(shù)f（x）的反函數(shù)．由，得由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由，知y=f^-1（x）在點(diǎn)（n，f^-1（n））處的切線方程為，令x=0得．由此能求出λ的取值范圍．
（3）．所以，由0＜x_n＜1，知x_n+1＞x_n．．由此入手能夠證明：++…+＜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．