Question

【題目】設(shè)集合， 是集合的所有子集組成的集合.若集合滿足對(duì)任意的映射，總存在，使得成立，其中，表示集合的子集的補(bǔ)集，為給定的正整數(shù).試求所有滿足上述條件的集合.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

記.若存在有限子集，滿足.

首先證明：存在映射，對(duì)任意的集合，均有.

設(shè)集合的全部子集構(gòu)成的集合為,

其中，，，，.

定義映射，，，則對(duì)任意的，均有.

定義映射，對(duì)于任意的，設(shè)，.則.

定義

其中，.則對(duì)任意的，均有.

因此，對(duì)于映射，若不存在集合，使得，則.

其次證明：對(duì)任何有限集，，均滿足題設(shè)條件.

反證法.

假設(shè)存在映射，使得對(duì)任意的，均有.

任取，由是有限集，故必存在整數(shù)，使得，且對(duì)任意的、，有.

設(shè).則.

同理，，，……

.

由此知.

所以，，與不含不為1的奇數(shù)因子矛盾.

因此，不存在這樣的映射，使得對(duì)任意的，均有，即對(duì)任一映射，均存在，有.

從而，必為所有元素個(gè)數(shù)小于或等于的實(shí)數(shù)的集合.