Question

已知菱形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=4，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC、
（1）求證EF⊥平面AOC；
（2）求AE與平面AOC所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面AEF的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證EF⊥平面AOC，而EF∥BD，可先證BD⊥平面AOC，而BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O滿足定理?xiàng)l件；
（2）設(shè)EF與交于點(diǎn)G，連接AG，根據(jù)線面所成角的定義可知∠EAG是AE與平面AOC所成的角，在三角形EAG中求出此角的正弦值即可；
（3）點(diǎn)B到平面AEF的距離等于點(diǎn)O到平面AEF的距離，而點(diǎn)O到平面AEF的距離點(diǎn)等于點(diǎn)O到AG的距離，在△AOG中即可求出點(diǎn)B到平面AEF的距離．

解答：解：（1）證：由BD⊥AO，BD⊥OC，得BD⊥平面AOC，
又E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，EF∥BD，
所以，EF⊥平面AOC．（4分）
（2）設(shè)EF與交于點(diǎn)G，連接AG．由（1）EF⊥平面AOC，
得AE與平面AOC所成的角為∠EAG．（6分）
AG=2

5

，EG=1，AE=

21

，sin∠EAG=

21

21

，
所以，AE與平面AOC所成角的正弦值為

21

21

．（8分）
（3）由EF∥BD，得BD∥平面AEF，
所以，點(diǎn)B到平面AEF的距離等于點(diǎn)O到平面AEF的距離
又EF⊥平面AOC，EF?平面AEF，得平面AOC⊥平面AEF，
所以，點(diǎn)O到平面AEF的距離點(diǎn)等于點(diǎn)O到AG的距離．（10分）
在△AOG中，AO=4，OG=2，AG=2

5

，
所以，點(diǎn)B到平面AEF的距離為

4 5

5

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角和點(diǎn)到面的距離，屬于基礎(chǔ)題．