Question

“若?x∈（1，2），x²+mx+4≥0”是假命題，則m的取值范圍為

（-∞，-5]

．

Answer 1

分析：寫出命題的否命題，據已知命題為假命題，得到否命題為真命題；分離出-m；通過導函數求出不等式右邊對應函數的在范圍，求出m的范圍．

解答：解：∵命題“?x∈（1，2）時，滿足不等式x²+mx+4≥0”是假命題，
∴命題“?x∈（1，2）時，滿足不等式x²+mx+4＜0”是真命題，
∴-m＞x+

4

x

在（1，2）上恒成立
令f(x)=x+

4

x

，x∈（1，2）
∵f′(x)=1-

4

x2

＜0
∴f（x）＜f（1）=5，
∴-m≥5，
∴m≤-5．
故答案為：（-∞，-5]

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用、二次函數恒成立問題．解答關鍵是將問題等價轉化為否命題為真命題即不等式恒成立，進一步將不等式恒成立轉化為函數的最值．