Question

如圖所示，在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁⊥底面ABC，AC⊥BC．AC=BC=CC₁=2．
（1）若點D、E、F分別為棱CC₁、C₁B₁、CA的中點，求證：EF⊥平面A₁BD；
（2）請根據(jù)下列要求設計切割和拼接方法：要求用平行于三棱柱A₁B₁C₁-ABC的某一條側棱的平面去截此三棱柱，切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體．簡單地寫出一種切割和拼接方法，
并寫出拼接后的長方體的表面積（不必寫出計算過程）．

Answer 1

分析：（1）連接C₁F，由已知中AA₁⊥底面ABC，由線面垂直的性質得到AA₁⊥AC，然后證得Rt△C₁CF≌Rt△A₁C₁D，進而A₁C₁⊥B₁C₁，由線面垂直的性質定理證得B₁C₁⊥平面AA₁CC₁后，可得B₁C₁⊥A₁D，進而可得EF?平面C₁FE，即A₁D⊥EF．同理可證BD⊥EF．最終再由線面垂直的判定定理得到EF⊥平面A₁BD；
（2）我們可以分別以C₁B₁、A₁B₁、AB、CB的中點E、G、M、N所確定的平面為截面，把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體；也可以分別以A₁B₁、AB的中點分別為M、N，以四點C₁、M、N、C所確定的平面為截面，把三棱柱A₁B₁C₁-ABC切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體．分別求出正方體的長寬高，即可求出其表面積．

解答：證明：連接C₁F，∵AA₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，
∴AA₁⊥AC．
∵AC=CC₁=2，D、F分別為棱CC₁、CA的中點，
∴CF=DC₁=1，A₁C₁=CC₁=2．
∵∠C₁CF=∠A₁C₁D=90°，
∴Rt△C₁CF≌Rt△A₁C₁D．
∴∠CC₁F=∠DA₁C₁．
∵∠DA₁C₁+∠A₁DC₁=90°，
∴∠DC₁F+∠A₁DC₁=90°，
∴A₁D⊥C₁F．
∵AC⊥BC，
∴A₁C₁⊥B₁C₁，
∵B₁C₁⊥AA₁，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴B₁C₁⊥平面AA₁CC₁．
∴B₁C₁⊥A₁D．
∵B₁C₁∩C₁F=C₁，
∴A₁D⊥平面C₁FE．
∵EF?平面C₁FE，
∴A₁D⊥EF．同理可證BD⊥EF．
∵A₁D∩BD=D，
∴EF⊥平面A₁BD；
（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以C₁B₁、A₁B₁、AB、CB的中點E、G、M、N所確定的平面為截面，
把三棱柱切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體
（該長方體的一個底面為長方形C₁EE′A₁如圖①所示，），此時所拼接成的長方體的表面積為16．

            圖甲                                       圖①

切割拼接方法二：如圖乙所示，設A₁B₁、AB的中點分別為M、N，以四點C₁、M、N、C所確定的平面為截面，
把三棱柱A₁B₁C₁-ABC切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體
（該長方體的一個底面為正方形C₁MA₁M′），此時所拼接成的長方體的表面積為4+8

2

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱柱的體積，其中（1）的關鍵是要熟練空間中線線垂直與線面垂直之間的相互轉化關系，（2）的關鍵是根據(jù)棱柱的結構特征，尋找出合適的拼接方法．