Question

設(shè)f(x)是定義在[－1，1]上的偶函數(shù)，f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)³，

(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)是否存在正實(shí)數(shù)a，使得f(x)的圖象的最高點(diǎn)在直線y＝12上？若存在，求出正實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

熱點(diǎn)分析　　因?yàn)閇2，3]關(guān)于x＝1對(duì)稱的區(qū)間是[－1，0]，所以應(yīng)先求出f(x)在區(qū)間[－1，0]內(nèi)的解析式；而問題(Ⅱ)等價(jià)于[f(x)]max＝12． 　　解答(Ⅰ)當(dāng)x∈[－1，0]時(shí)，f(x)上的點(diǎn)P(x，y)與g(x)上的點(diǎn)Q(x0，y0)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱， 　　代入g(x)得 　　f(x)＝4x3－2ax(x∈[－1，0])． 　　∵f(x)是[－1，1]上的偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)， 　　f(x)＝f(－x)＝4(－x)3－2a(－x)＝－4x3＋2ax； 　　(Ⅱ)命題條件等價(jià)于[f(x)]max＝12，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以只需考慮x∈[0，1]的情況． 　　對(duì)f(x)求導(dǎo)得(x)＝2(a－6x2)(x∈[0，1]． 　�、佼�(dāng)a≤0時(shí)，(x)＜0，∴f(x)在[0，1]單調(diào)遞減． 　　∴[f(x)]max＝f(0)＝12．無解 　　②當(dāng)a＞0時(shí)，(x)＝12(－x)(＋x) 　�。�0x＝， 　　(i)當(dāng)0＜≤1，即0＜a≤6時(shí)， 　　x＝是定義域內(nèi)惟一的極大點(diǎn)， 　　∴[f(x)]max＝f()＝12x＝3＞6， 　　不合題意； 　　(ii)當(dāng)＞1，即a＞6時(shí)， 　　(x)＞0，f(x)在[0，1]上遞增， 　　∴[f(x)]max＝f(1)＝12a＝8． 　　綜上，存在a＝8使得f(x)的圖象的最高點(diǎn)在直線y＝12上． 　　評(píng)析　　綜合了函數(shù)解析式的變換，函數(shù)性質(zhì)及最熱點(diǎn)的函數(shù)最值內(nèi)容，這是常見的函數(shù)綜合問題形式，在求最值時(shí)由于用求導(dǎo)的方法十分簡(jiǎn)單，因此沒有必要考慮初等方法．