Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)在處取得極值.

⑴求的解析式；

⑵設(shè)是曲線上除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn),過的中點(diǎn)且垂直于軸的直線交曲線于點(diǎn),試問：是否存在這樣的點(diǎn),使得曲線在點(diǎn)處的切線與平行？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由；

⑶設(shè)函數(shù),若對(duì)于任意,總存在,使得,求

實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

⑴.

⑵存在滿足條件的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

⑶的取值范圍是.

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）⑴∵,∴.又在處取得極值.得到參數(shù)a,b的值。

（2）由⑴知.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),且,則,

又.則由,得,∴,

（3），分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，與單調(diào)性的關(guān)系得到最值。

解：⑴∵,∴.又在處取得極值.

∴,即,解得,,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,∴.…（4分）

⑵由⑴知.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),且,則,

又.則由,得,∴,

∵,∴,得.故存在滿足條件的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.                   ………… （8分）

⑶解法： ,令,得或.

當(dāng)變化時(shí),、的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴在處取得極小值,在處取得極大值.

又時(shí),,∴的最小值為.     

∵對(duì)于任意的,總存在,使得,∴當(dāng)時(shí),最小值不大于.又.

∴當(dāng) 時(shí),的最小值為,由,得；

當(dāng)時(shí),最小值為,由,得；

當(dāng)時(shí),的最小值為.由,即,解得或.又,∴此時(shí)不存在.                    

綜上,的取值范圍是.   …………   (14分)

   解法：同解法得的最小值為.   

∵對(duì)于任意的,總存在,使得,∴當(dāng)時(shí),有解,即在上有解.設(shè),則

得,

或,得或.

∴或時(shí),在上有解,故的取值范圍是.

   解法：同解法得的最小值為.  

∵對(duì)于任意的,總存在,使得,∴當(dāng)時(shí),有解,即在上有解.令,則,∴.

∴當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),得,不成立,∴不存在；

當(dāng)時(shí),.令,∵時(shí),,∴在上為減函數(shù),∴,∴.

綜上,的取值范圍是.