已知函數(shù)f(x)=x2+(lga+2)x+lgb滿足f(-1)=-2且對(duì)于任意x∈R,恒有f(x)≥2x成立.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)解不等式f(x)<x+5.
分析:(1)由f(-1)=-2,代入函數(shù)解析式得到關(guān)于lga與lgb的等式記作①,化簡(jiǎn)后得到關(guān)于a與b的等式記作②,又因?yàn)閒(x)≥2x恒成立,把f(x)的解析式代入后,令△≤0得到關(guān)于lga與lgb的不等式,把①代入后得到關(guān)于lgb的不等式,根據(jù)平方大于等于0,即可求出b的值,把b的值代入②即可求出a的值;
(2)由(1)求出的a與b的值代入f(x)的解析式中即可確定出f(x)的解析式,然后把f(x)的解析式代入到f(x)<x+5中,得到關(guān)于x的一元二次不等式,求出一元二次不等式的解集即可.
解答:解(1)由f(-1)=-2知,lgb-lga+1=0①,所以
=10②.
又f(x)≥2x恒成立,f(x)-2x≥0恒成立,
則有x
2+x•lga+lgb≥0恒成立,
故△=(lga)
2-4lgb≤0,
將①式代入上式得:(lgb)
2-2lgb+1≤0,即(lgb-1)
2≤0,
故lgb=1即b=10,代入②得,a=100;
(2)由(1)知f(x)=x
2+4x+1,f(x)<x+5,
即x
2+4x+1<x+5,
所以x
2+3x-4<0,
解得-4<x<1,
因此不等式的解集為{x|-4<x<1}.
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件,以及會(huì)求一元二次不等式的解集,是一道中檔題.