正三棱錐P-ABC內(nèi)接于半球O,底面ABC在大圓面上,則它相鄰的兩個側(cè)面所成二面角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:設(shè)半球的半徑為單位1,從而可知正三角形ABC的邊長,進(jìn)而可以求出側(cè)棱長,在側(cè)面上以任一個底角為頂點做高,由此可求高長,從而利用余弦定理,可求 相鄰的兩個側(cè)面所成二面角的余弦值
解答:解:由題意,設(shè)半球的半徑為單位1,則正三角形ABC的邊長為;
三棱錐的高為1,所以側(cè)邊PA=PA=PC=
在側(cè)面上以任一個底角為頂點做高,它的長度等于
根據(jù)余弦定理,三角形的兩邊長為,底邊為,
從而余弦值就是
即相鄰的兩個側(cè)面所成二面角的余弦值為
故選D.
點評:本題以半球為載體,考查正三棱錐,考查面面角,關(guān)鍵是作出面面角,從而利用余弦定理進(jìn)行求解.
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(2008•黃岡模擬)正三棱錐P-ABC的三條棱兩兩互相垂直,則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為( 。

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正三棱錐P-ABC內(nèi)接于半球O,底面ABC在大圓面上,則它相鄰的兩個側(cè)面所成二面角的余弦值為( 。
A.
4
15
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5

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正三棱錐P—ABC內(nèi)接于球O,球心O在底面ABC上,且AB=,則球的表面積為

A.π                B.2π                  C.4π               D.9π

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