Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，D為C₁C的中點，O為A₁B與AB₁的交點．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）若點E為AO的中點，求證：EC∥平面A₁BD．

Answer 1

解：（1）證明：如圖，由已知O是面AB₁的中心，
由于面AB₁是正方形，故AB₁⊥A₁B，
連接OD，由于D是中點，可得DA₁=DB，由此得等腰三角形DA₁B，由于DO是此等腰三角形的中線，故有DO⊥面₁AB，由線面垂直的性質(zhì)定理可得DO⊥線AB₁，
由于AB₁∩DO=O，AB₁，DO?平面A₁BD，故有AB₁⊥平面A₁BD；
（2）在圖形中取M為線段A₁O的中點，連接ME，MD，
由于E為AO的中點，故ME是中位線，所以有MEA₁A，
又D是CC₁的中點，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中有CDA₁A
故得MECD，即得?MEDC
∴MD∥CE，
又DM?平面A₁BD，CE平面A₁BD，
∴EC∥平面A₁BD．
分析：（1）由題設(shè)條件知可連接OD證明DO⊥線AB₁，以及AB₁⊥A₁B，，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；
（2）本題采取構(gòu)造平行四邊形的方法證明面外一線與面內(nèi)一線平行，觀察發(fā)現(xiàn)，若取M為線段A₁O的中點，易證得MECD，即得?MEDC，從而得到線面平行的條件MD∥CE，再用線面平行的定理得出結(jié)論即可．
點評：本題考查用線面平行的判定定理證明線面平行以及用線面垂直證明線面垂直，是立體幾何中兩個基本題型．在本題中證明線面平行時需要構(gòu)造出平行四邊形來證明線線平行，對答題者識圖判圖的能力要求較高．立體幾何的證明，主要是考查空間立體感知能力，正確作輔助線的能力是這種能力的一種體現(xiàn)．