Question

（2012•許昌二模）已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（4+x）=f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，那么f（0）＜0是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點的（　　）

A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由f（x+4）=f（x）得出函數(shù)的周期是4，然后利用函數(shù)奇偶性與單調性的關系，判斷f（0）＜0與函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點之間的推出關系，最后根據充要條件的定義得出答案．

解答：解：因為f（x+4）=f（x），所以函數(shù)f（x）的周期是4．
因為函數(shù)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，且函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上單調遞減．

若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點，則f（0）＜0，f（2）＞0，如圖．


反之，若f（0）＜0，f（2）＜0，如圖，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上沒有零點，

故f（0）＜0是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上有3個零點的必要不充分條件．

故選C．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性，周期性和單調性之間的關系．正確理解函數(shù)的這幾個性質是解決本題的關鍵．