Question

設(shè)函數(shù)f(x)=,函數(shù)g(x)=x³+ax²-2x分別在x=m和x=n處取得極值,且m＜n.

(1)求f(m)·f(n)的值;

(2)求證:f(x)在區(qū)間［m,n］上是增函數(shù);

(3)設(shè)f(x)在區(qū)間［m,n］上的最大值和最小值分別為M和N,試問當(dāng)實數(shù)a為何值時,M-N取得最小值?并求出這個最小值.

Answer 1

解:(1)g′(x)=2x²+2ax-2=0的兩根為m,nm+n=-a,mn=-1,

f(m)×f(n)=·=-1.

(2)證明：f′(x)==.

m≤x≤n,f′(x)≥0f(x)在區(qū)間［m,n］上為增函數(shù).

(3)由(2)可知M=f(n),N=f(m),f(n)·f(m)=-1f(n)＞0,

M-N=f(n)-f(m)=f(n)+≥2f(n)=1時取等號,

必有f(m)+f(n)=0.

又f(m)+f(n)=+

==0.

整理可得2mn(m+n)+2a=0a=0.

又可驗證此時f(n)=1a=0,(M-N)_min=2.