Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=sin（

π

2

a_n）（n∈N^*）．
證明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

分析：先看當n=1時，可求得a₂，則可驗證結(jié)論成立；假設(shè)n=k時結(jié)論成立，根據(jù)0＜a_k＜a_k+1＜1，推斷出0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．
進而可知0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，結(jié)論成立，最后綜合可知原式成立．

解答：證明：①n=1時，a₁=

1

2

，
a₂=sin（

π

2

a₁）=sin

π

4

=

2

2

．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時結(jié)論成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
則0＜

π

2

a_k＜

π

2

a_k+1＜

π

2

．
∴0＜sin（

π

2

a_k）＜sin（

π

2

a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是說n=k+1時，結(jié)論也成立．
由①②可知，對一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．

點評：本題主要考查了數(shù)列的地推式和用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式．