Question

已知函數(shù)f（x）=ax²，g（x）=2elnx，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間，若F（x）有最值，請求其最值；
（2）是否存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出a的值，以及公共點坐標和公切線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）對F（x）求導數(shù)，得F'（x）=

2ax2-2e

x

，x＞0．然后分a的正負進行討論，可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到當a≤0時，F(xiàn)（x）沒有最值；當a＞0時，F(xiàn)（x）有最小值F（

e a

）=elna，沒有最大值．
（2）由（1）的計算結(jié)合，可得若存在正常數(shù)a滿足題中的條件，則必定有F（x）的最小值等于0．由此解出a=1，且f（

e

）=g（

e

）=e，得到函數(shù)圖象的公共點為（

e

，e），再算出f'（

e

）=g'（

e

）=2

e

，可知f（x）與g（x）在x=

e

處有公共的切線，從而得到得存在正常數(shù)a=1能夠滿足題中的條件．

解答：解：（1）求導數(shù)得
F'（x）=f'（x）-g'（x）=2ax-

2e

x

=

2ax2-2e

x

．（x＞0）
①當a≤0時，F(xiàn)'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立
此時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，沒有最值；
②當a＞0時，解方程F'（x）=0，得x=

e a

在（0，

e a

）上F（x）為減函數(shù)，在（

e a

，+∞）上F（x）為增函數(shù)
因此F（x）在（0，+∞）上有最小值F（

e a

）=e-2eln

e a

=elna；沒有最大值
綜上所述，當a≤0時，F(xiàn)（x）沒有最值；
當a＞0時，F(xiàn)（x）有最小值F（

e a

）=elna，沒有最大值．
（2）假設存在正常數(shù)a，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
則函數(shù)y=F（x）有且僅有一個零點
結(jié)合（1）的結(jié)論，可得只需F（x）的最小值等于0
因此有a＞0，且elna=0，解得a=1
[F（x）]_min=f（

e

）-g（

e

）=0，即f（

e

）=g（

e

）=e
∴f（x）與g（x）圖象的公共點為（

e

，e）
又∵f'（

e

）=g'（

e

）=2

e

∴f（x）與g（x）的圖象在（

e

，e）處有公共的切線
切線方程為y-e=2

e

（x-

e

），即y=2

e

x-e
綜上所述，得存在正常數(shù)a=1，使f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
且在該公共點處有共同的切線，公切線方程為y=2

e

x-e．

點評：本題給出兩個函數(shù)f（x）與g（x），求它們的差對應函數(shù)的最值并討論兩個函數(shù)圖象的公切線問題．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義和函數(shù)最值的求法等知識，屬于中檔題．