如圖,在正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AA
1=
AB,點E、M分別為A
1B、C
1C的中點,過點A
1、B、M三點的平面A
1BMN交C
1D
1于點N.
(1)求證:EM∥平面A
1B
1C
1D
1;
(2)求二面角B-A
1N-B
1的正切值;
(3)設(shè)截面A
1BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V
1、V
2(V
1<V
2),求V
1:V
2的值.
分析:(1)設(shè)A
1B
1的中點為F,連接EF、FC
1.跟中位線的性質(zhì)可知EF
B
1B.進而根據(jù)C
1M
B
1B判斷出EF
MC
1.推斷出EMC
1F為平行四邊形.進而可知EM∥FC
1.推斷出EM∥平面A
1B
1C
1D
1.
(2)作B
1H⊥A
1N于H,連接BH.根據(jù)BB
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,可知BH⊥A
1N,進而推斷出∠BHB
1為二面角B-A
1N-B
1的平面角.根據(jù)EM∥平面A
1B
1C
1D
1,EM?平面A
1BMN,平面A
1BMN∩平面A
1B
1C
1D
1=A
1N,推斷出EM∥A
1N.進而可推斷出A
1N∥FC
1.A
1F∥NC
1,推知A
1FC
1N是平行四邊形.AA
1=a,在Rt△A
1D
1N中,求得A
1N,進而求得sin∠A
1ND
1,同理求得B
1H則在Rt△BB
1H中求得答案.
(3)延長A
1N與B
1C
1交于P,則P∈平面A
1BMN,且P∈平面BB
1C
1C.首先判斷出幾何體MNC
1-BA
1B
1為棱臺.進而求得底面積和高,分別求得各自的體積.
解答:解:
(1)證明:設(shè)A
1B
1的中點為F,連接EF、FC
1.
∵E為A
1B的中點,∴EF
B
1B.
又C
1M
B
1B,∴EF
MC
1.
∴四邊形EMC
1F為平行四邊形.
∴EM∥FC
1.∵EM?平面A
1B
1C
1D
1,
FC
1?平面A
1B
1C
1D
1,
∴EM∥平面A
1B
1C
1D
1.
(2)解:作B
1H⊥A
1N于H,連接BH.
∵BB
1⊥平面A
1B
1C
1D
1,∴BH⊥A
1N.
∴∠BHB
1為二面角B-A
1N-B
1的平面角.
∵EM∥平面A
1B
1C
1D
1,EM?平面A
1BMN,平面A
1BMN∩平面A
1B
1C
1D
1=A
1N,
∴EM∥A
1N.
又∵EM∥FC
1,∴A
1N∥FC
1.
又∵A
1F∥NC
1,∴四邊形A
1FC
1N是平行四邊形.∴NC
1=A
1F.
設(shè)AA
1=a,則A
1B
1=2a,D
1N=a.
在Rt△A
1D
1N中,
A
1N=
=
a,
∴sin∠A
1ND
1=
=
.
在Rt△A
1B
1H中,B
1H=A
1B
1sin∠HA
1B
1=2a•
=
a.
在Rt△BB
1H中,
tan∠BHB
1=
=
=
.
(3)解:延長A
1N與B
1C
1交于P,則P∈平面A
1BMN,且P∈平面BB
1C
1C.
又∵平面A
1BMN∩平面BB
1C
1C=BM,
∴P∈BM,即直線A
1N、B
1C
1、BM交于一點P.
又∵平面MNC
1∥平面BA
1B
1,
∴幾何體MNC
1-BA
1B
1為棱臺.
∵S=
•2a•a=a
2,
S=
•a•
a=
a
2,
棱臺MNC
1-BA
1B
1的高為B
1C
1=2a,
V
1=
•2a•(a
2+
+
a
2)=
a
3,∴V
2=2a•2a•a-
a
3=
a
3.
∴
=
.
點評:本題主要考查了直線與平面平行的判定,棱臺的體積計算等.考查了學(xué)生的綜合素質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,在正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,已知AA
1=4,AB=2,E是棱CC
1上的一個動點.
(Ⅰ)求證:BE∥平面AA
1D
1D;
(Ⅱ)當(dāng)CE=1時,求二面角B-ED-C的大;
(Ⅲ)當(dāng)CE等于何值時,A
1C⊥平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中(底面是正方形的直棱柱),側(cè)棱AA′=
,
AB=,則二面角A′-BD-A的大小為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2012•青島一模)如圖,在正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AB=a,
AA1=a,E為CC
1的中點,AC∩BD=O.
(Ⅰ) 證明:OE∥平面ABC
1;
(Ⅱ)證明:A
1C⊥平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
如圖,在正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1中,AA
1=A(x
0,y
0)AB=2,點E、M分別為A
1B、C
1C的中點.
(Ⅰ)求證:EM∥平面A
1B
1C
1D
1;
(Ⅱ)求幾何體B-CME的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:
題型:
(2009•宜昌模擬)如圖,在正四棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1 中,AB=BC=1,AA
1=2.過頂點D
1在空間作直線l,使l與直線AC和BC
1所成的角都等于60°,這樣的直線l最多可作( 。
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