Question

【題目】設(shè)拋物線，滿足，過點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為.

（1）求證：直線與拋物線相切；

（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2） （3）是，

【解析】

（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，由，即可證明；

（2）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上解得，進(jìn)而寫出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)既在直線上，又在拋物線上，聯(lián)立方程組即可求得的坐標(biāo)；

（3）寫出直線的方程，根據(jù)過點(diǎn)和過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)得到的結(jié)論，整理化簡直線方程，即可求得恒過的定點(diǎn).

（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，消去

可得

故，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

故

則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)

又因?yàn)?/span>，故該直線不與軸平行，

即證直線與拋物線相切.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故可得，解得

由（1）可知過點(diǎn)的切線方程為，即

又拋物線的準(zhǔn)線方程為，故令，解得，

即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

因?yàn)檫^點(diǎn)的切線方程為，其過點(diǎn)

故可得，又因?yàn)辄c(diǎn)滿足拋物線方程，

故可得，聯(lián)立方程組可得

解得（舍去，與點(diǎn)重合），，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（3）由（1）得過點(diǎn)的切線方程為

令，可解得

過點(diǎn)的切線方程為

令，可解的

因?yàn)閮芍本�交于點(diǎn)，故可得

整理得 ①

當(dāng)過兩點(diǎn)的直線斜率存在，則設(shè)其方程為：

整理得，將①代入可得

故直線方程為

故該直線恒過定點(diǎn);

當(dāng)過兩點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，

，代入①可得

過此時(shí)直線，也經(jīng)過點(diǎn)

綜上所述，直線恒過定點(diǎn)，即證.