Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動．
（Ⅰ）證明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，求異面直線AC與D₁E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

Answer 1

分析：（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則我們可以確定長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線D₁E和直線A₁D的方向向量后，判斷他們的數(shù)量積為0，即可得到D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）由E為AB的中點(diǎn)時，則我們可以求出滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC與D₁E的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到答案．
（III）若二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，則平面D₁EC的法向量

n

與平面ECD的法向量

DD1

的夾角大小為

π

4

，求出平面D₁EC的法向量

n

，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程即可得到滿足條件的AE的值．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（Ⅰ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

DA1

=（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1）
∴

DA1

•

D1E

=1+0-1=0，所以D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，則E（1，1，0），
從而

D1E

=（1，1，-1），

AC

=（-1，2，0），
設(shè)AC與D₁E所成的角為θ
則cosθ=

| AC • D1E |

| AC || D1E |

=

|-1+2+0|

5 3

=

15

15

…（9分）
（Ⅲ）設(shè)平面D₁EC的法向量為

n

=（a，b，c），
∵

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=（0，2，-1），

DD1

=（0，0，1）
由

n • D1C =0   n • CE =0

，有

2b-c=0 a+b(x-2)=0

，
令b=1，從而c=2，a=2-x
∴

n

=（2-x，1，2），…..（12分）
由題意，cos

π

4

=

n • DD1

| n |•| DD1 |

=

2

(x-2)2+5

=

2

2

．
∴x=2+

3

（不合題意，舍去），或x=2-

3

．
∴當(dāng)AE=2-

3

時，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系，用空間向量求直線間的夾角、距離，用空間向量求平面間的夾角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)及相關(guān)直線的方向向量及相關(guān)平面的法向量的坐標(biāo)，將空間平行、垂直及夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．