Question

如圖，橢圓C：

x2

16

+

y2

4

=1的右頂點(diǎn)是A，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B，D，四邊形DAMB是矩形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)E，P分別是線段OA，MA的中點(diǎn)．
（1）求證：直線DE與直線BP的交點(diǎn)在橢圓C上．
（2）過(guò)點(diǎn)B的直線l₁，l₂與橢圓C分別交于R，S（不同于B點(diǎn)），且它們的斜率k₁，k₂滿足k₁•k₂=-

1

4

求證：直線SR過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）確定直線DE與BP的直線方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，滿足橢圓方程，可得結(jié)論；
（2）設(shè)出直線方程，求得R，S的坐標(biāo)，利用R，S關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）由題意，A（4，0），B（0，2），D（0，-2），E（2，0），P（4，1），
則直線DE的方程為y=x-2，直線BP的方程為y=-

1

4

x+2
聯(lián)立方程，可得直線DE與BP的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

16

5

，

6

5

）
∵橢圓C：

x2

16

+

y2

4

=1，∴（

16

5

，

6

5

）滿足方程，
∴直線DE與直線BP的交點(diǎn)在橢圓C上．
（2）直線BR的方程為y=k₁x+2
解方程組

y=k1x+2 x2 16 + y2 4 =1

，可得

x=0 y=2

或

x=- 16k1 1+4k12 y= 2-8k12 1+4k12

∴R的坐標(biāo)為（-

16k1

1+4k12

，

2-8k12

1+4k12

）
∵k₁•k₂=-

1

4

，∴直線BS的斜率k₂=-

1

4k1

，∴直線BS的方程為y=-

1

4k1

x+2
解方程組

y=- 1 4k1 x+2 x2 16 + y2 4 =1

得

x=0 y=2

或

x= 16k1 1+4k12 y= 8k12-2 1+4k12

∴S的坐標(biāo)為（

16k1

1+4k12

，

8k12-2

1+4k12

）
∴R，S關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱
∴R，O，S三點(diǎn)共線
∴直線SR過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為O（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的交點(diǎn)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．