Question

某企業(yè)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中有一、二、三等品及次品共四個(gè)等級(jí)，1件不同等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：元）如表1，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取出1件產(chǎn)品，該件產(chǎn)品為不同等級(jí)的概率如表2．若從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取出的1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即數(shù)學(xué)期望）為4.9元．

等級(jí)	一等品	二等品	三等品	次品
P	0.6	a	0.1	b

表1   

等級(jí)	一等品	二等品	三等品	次品
利潤(rùn)	6	5	4	-1

表2
（1）求a，b的值；
（2）從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取出3件產(chǎn)品，求這3件產(chǎn)品的總利潤(rùn)不低于17元的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意寫出ξ的分布列，表示出變量的期望值，根據(jù)分布列的性質(zhì)及各個(gè)變量的概率之和是1，和期望值列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組即可．
（2）所取出的3件產(chǎn)品的總利潤(rùn)不低于17元，表示這3件產(chǎn)品可以有兩種取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品．這兩種情況是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)為隨機(jī)變量ξ，
依題意得ξ的分布列為：

ξ	6	5	4	-1
P	0.6	a	0.1	b

∴Eξ=6×0.6+5a+4×0.1-b=4.9，即5a-b=0.9．
∵0.6+a+0.2+0.1+b=1，即a+b=0.3，
解得a=0.2，b=0.1．
∴a=0.2，b=0.1．
（2）為了使所取出的3件產(chǎn)品的總利潤(rùn)不低于17元，則這3件產(chǎn)品可以有兩種取法：3件都
是一等品或2件一等品，1件二等品．
故所求的概率P=0.6³+C₃²×0.6²×0.2=0.432．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望值的應(yīng)用，是一個(gè)用方程的思想來(lái)解決分布列問(wèn)題的題目，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用分布列的性質(zhì)．