Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，
，點(diǎn)在棱上移動(dòng) 

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；
（Ⅲ）等于何值時(shí)，二面角的大小為

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

本小題主要考查向量語(yǔ)言表述線線的垂直、平行關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離和線面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．
（1）建立如圖的坐標(biāo)系，則

DA1

=(1，0，1)，設(shè)E（1，t，0），則

D1E

=(1，t，-1)，通過(guò)向量的數(shù)量積為0，計(jì)算可得D₁E⊥A₁D；
（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一個(gè)法向量，最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD₁的距離．
（3）（2）連接DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，及線面垂直的判定和性質(zhì)，可得DE⊥EC，D₁E⊥EC，進(jìn)而由∠D₁ED即為二面角D₁-EC-D的平面角，解三角形D₁ED即可得到二面角D₁-EC-D的大小；
解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則
（Ⅰ）       ………4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231426745327.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，則，從而，
，設(shè)平面的法向量為，則
也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為           ………8分
（Ⅲ）設(shè)平面的法向量，
∴
由 令，
∴
依題意
∴（不合，舍去），  
∴時(shí)，二面角的大小為       ………12分