Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=ax³-2ax²+bx+1（a＞0）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=

f(x)-1

x

在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，故f（-x）=-ax³-2ax²-bx+1，再由f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，能求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）=

f(x)-1

x

=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，由a＞0，知g（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，由此能求出a，b的值．

解答：解：（1）當(dāng)x＜0時，-x＞0，
故f（-x）=a（-x）³-2a（-x）²+b（-x）+1
=-ax³-2ax²-bx+1，
又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
故f（x）=-f（-x）=ax³+2ax²+bx-1，
所以f（x）=

ax3-2ax2+bx+1，x＞0 0，x=0 ax3+2ax2+bx-1，x＜0

．
（2）當(dāng)x∈[2，3]時，g（x）=

f(x)-1

x

=ax²-2ax+b=a（x-1）²+b-a，
∵a＞0，∴g（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，
故

g(3)=4 g(2)=1

，
∴

9a-6a+b=4 4a-4a+b=1

，
解得a=1，b=1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．