(理)已知函數(shù)f(x)=x,g(x)=ln(1+x),h(x)=.

(1)證明當(dāng)x>0時,恒有f(x)>g(x);

(2)當(dāng)x>0時,不等式g(x)>(k≥0)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;

(3)在x軸正半軸上有一動點(diǎn)D(x,0),過D作x軸的垂線依次交函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)的圖象于點(diǎn)A、B、C,O為坐標(biāo)原點(diǎn).試將△AOB與△BOC的面積比表示為x的函數(shù)m(x),并判斷m(x)是否存在極值,若存在,求出極值;若不存在,請說明理由.

(文)已知函數(shù)f(x)=,x∈(0,+∞),數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an);數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn+1=,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,n=1,2,3,….

(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式;

(2)設(shè)Tn=,證明Tn<3.

答案:(理)(1)證明:設(shè)F(x)=f(x)-g(x),則F′(x)=,

當(dāng)x>0時,F′(x)>0,所以函數(shù)F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又F(x)在x=0處連續(xù),所以F(x)>F(0)=0,即f(x)-g(x)>0.所以f(x)>g(x).

(2)解:設(shè)G(x)=g(x),則G(x)在(0,+∞)上恒大于0,G(x)=ln(1+x)-k+,

G′(x)=,

x2+(2k-k2)x=0的根為0和k2-2k,即在區(qū)間(0,+∞)上,G′(x)=0的根為0和k2-2k,若k2-2k>0,則G(x)在(0,k2-2k)上單調(diào)遞減,且G(0)=0,與G(x)在(0,+∞)上恒大于0矛盾;若k2-2k≤0,G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且G(0)=0,滿足題設(shè)條件,所以k2-2k≤0.所以0≤k≤2.

(3)解:m(x)=,

m′(x)=,

其分母為正數(shù),其分子為ln(1+x)·.

由第(2)問,知ln(1+x)>在(0,+∞)上恒成立,所以m′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即m(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),故m(x)無極值.

(文)(1)解:∵f(x)=,an+1=f(an),∴an+1=.∴.

為以=1為首項、以2為公差的等差數(shù)列.∴=1+(n-1)·2.∴an=.

又∵f(x)=,bn+1=,∴bn+1==2Sn+1.

∴bn+2=2Sn+1+1.∴bn+2-bn+1=2(Sn+1-Sn).∴bn+2=3bn+1.∵b1=1,b2=2S1+1=3,∴{bn}為以b1=1為首項、以q=3為公比的等比數(shù)列.bn=3n-1.

(2)證明:依題意Tn=1·1+3·+5·()2+7·()3+…+(2n-1)()n-1,

Tn=1·+3·()2+5·()3+…+(2n-3)·()n-1+(2n-1)·()n,

Tn=1+2[+()2+()3+…+()n-1]-(2n-1)·()n=1+2·-(2n-1)()n.

Tn=2-()n-1-(2n-1)()n.

∴Tn=3-·()n-1-·(2n-1)()n<3.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)(理)已知函數(shù)f(x)=
ln(2-x2)
|x+2|-2

(1)試判斷f(x)的奇偶性并給予證明;
(2)求證:f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減;
(3)如圖給出的是與函數(shù)f(x)相關(guān)的一個程序框圖,試構(gòu)造一個公差不為零的等差數(shù)列
{an},使得該程序能正常運(yùn)行且輸出的結(jié)果恰好為0.請說明你的理由.
(文)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直,且AC和BD分別在x軸和y軸上.
(1)求證:F<0;
(2)若四邊形ABCD的面積為8,對角線AC的長為2,且
AB
AD
=0
,求D2+E2-4F的值;
(3)設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判
斷點(diǎn)O、G、H是否共線,并說明理由.

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(理)已知函數(shù)f(x)=
sin2x-(a-4)(sinx-cosx)+a
的定義域為{x|2kπ≤x≤2kπ+
π
2
,k∈Z}
,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•普陀區(qū)三模)(理)已知函數(shù)f(x)=
sinπxx∈[0,1]
log2011xx∈(1,+∞)
若滿足f(a)=f(b)=f(c),(a、b、c互不相等),則a+b+c的取值范圍是
(2,2012)
(2,2012)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•普陀區(qū)三模)(理)已知函數(shù)f(x)=
ln(2-x2)|x+2|-2

(1)試判斷f(x)的奇偶性并給予證明;
(2)求證:f(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減;
(3)右圖給出的是與函數(shù)f(x)相關(guān)的一個程序框圖,試構(gòu)造一個公差不為零的等差數(shù)列{an},使得該程序能正常運(yùn)行且輸出的結(jié)果恰好為0.請說明你的理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•嘉定區(qū)一模)(理)已知函數(shù)f(x)=log2
2
x
1-x
,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是f(x)圖象上兩點(diǎn).
(1)若x1+x2=1,求證:y1+y2為定值;
(2)設(shè)Tn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求Tn關(guān)于n的解析式;
(3)對(2)中的Tn,設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,當(dāng)n≥2時,an=4Tn+2,問是否存在角a,使不等式(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)
(1-
1
an
)<
sinα
2n+1
對一切n∈N*都成立?若存在,求出角α的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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