空間四邊形ABCD的對棱AD，BC成60°的角，且AD=BC=a，平行于AD與BC的截面分別交AB，AC，CD，BD于E、F、G、H．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形；
（2）E在AB的何處時截面EFGH的面積最大？最大面積是多少？
證明：（1）∵BC∥平面EFGH，BC?平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴BC∥EF，同理BC∥HC，
∴EF∥HG．
同理可證EH∥FG，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）∵AD與BC成角為60°，
∴∠HEF=60°（或120°），設
AE
AB
=x，
∵
EF
BC
=
AE
AB
=x，BC=a，
∴EF=ax，由
EH
AD
=
BE
AB
=
1-x
1
，得EH=（1-x）a．
∴S四邊形EFGH=EF•EH•sin60°
=ax•a（1-x）•
3
2
=
3
2
a2•x（1-x）≤
3
2
a2•(
x+1-x
2
)2=
3
8
a2．
當且僅當x=1-x，即x=
1
2
時等號成立，即E為AB的中點時，截面EFGH的面積最大為
3
8
a2．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，BC=4，AA1=4，點D是AB的中點，
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求證：AC1∥平面CDB1．
（3）求二面角C1-AB-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=
2
，CE=EF=1，∠ECA=60°．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求異面直線AB與DE所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知AB與CD為異面線段，CD?平面α，AB∥α，M、N分別是線段AC與BD的中點，求證：MN∥平面α．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC，底面ABC為邊長為2
3
的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．
（Ⅰ）求證DO∥面PBC；
（Ⅱ）求證：BD⊥AC；
（Ⅲ）求面DOB截三棱錐P-ABC所得的較大幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值為
6
6
，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的所有棱長均為2，G為AF的中點．
（1）求證：F1G∥平面BB1E1E；
（2）求證：平面F1AE⊥平面DEE1D1；
（3）求四面體EGFF1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=1
（1）求異面直線A1B與B1C所成的角；
（2）求證：平面A1BD∥平面B1CD1．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=4，M為CE的中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF：
（Ⅱ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求三棱錐C-MBD的體積．

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