Question

 

    己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為．

   （Ⅰ）求C的離心率；

   （Ⅱ）設C的右頂點為A，右焦點為F，，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切．

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命題意圖】本題主要考查雙曲線的方程及性質，考查直線與圓的關系，既考查考生的基礎知識掌握情況，又可以考查綜合推理的能力.

【參考答案】

   （I）由題設知，的方程為

代入C的方程，并化簡得，

設

則①

由為B D的中點知故

即     ②

故

所以C的離心率

   （II）由①、②知，C的方程為：

A（a，0），F(xiàn)（2a，0），

故不妨設

           

又

故

解得（舍去）

故

連結MA，則由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，從而

MA=MB=MD，且MA⊥x軸，因此以M為圓主，MA

為半徑的圓經地A、B、D三點，且在點A處與x軸相切，

所以過A、B、D三點的圓與x軸相切。     

【點評】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目，命題者將好多考點以圓錐曲線為背景來考查，如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等，試題的難度相對比較穩(wěn)定.