（本小題滿分14分）

如圖，ADB為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變。

   （I）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，求曲線C的方程；

   （II）過點B的直線l與曲線C交于M、N兩點，與OD所在直線交于E點，

        為定值。

解：（Ⅰ）以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸， O為原點，建立平面直角坐標系，∵動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變．且點Q在曲線C上,

∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．

∴曲線C是為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓．

設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1．

∴曲線C的方程為+y2=1      6分

（Ⅱ）證法1：設點的坐標分別為，

易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

 ∵，∴．

∴ ，．       10分

將M點坐標代入到橢圓方程中得：，

去分母整理，得．  11分

同理，由可得：

．    12分

∴ ，是方程的兩個根，

∴ ．   14分

（Ⅱ）證法2：設點的坐標分別為，

易知點的坐標為．且點B在橢圓C內,故過點B的直線l必與橢圓C相交．

顯然直線  的斜率存在，設直線 的斜率為 ，則直線  的方程是 ．

將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得

．   10分

∴ ，．   11分

又 ∵， 則．∴，

同理，由，

∴． 12分

∴．       14分

練習冊系列答案
相關習題

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（2011•廣東模擬）（本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)．
（I）化簡f（x）的表達式，并求f（x）的最小正周期；
（II）當x∈[0，
π
2
]  時，求函數(shù)f(x)的值域．

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（本小題滿分14分）設橢圓C1的方程為(a＞b＞0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內只有一個公共點P。（1）試用a表示點P的坐標；（2）設A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記min{y1,y2,……,yn}為y1,y2,……,yn中最小的一個。設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=min{g(a), S(a)}的表達式。

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（本小題滿分14分）
已知=2，點（）在函數(shù)的圖像上，其中=.
(1)證明：數(shù)列}是等比數(shù)列；
（2）設，求及數(shù)列{}的通項公式；
（3）記，求數(shù)列{}的前n項和，并證明.

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 (本小題滿分14分)

某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監(jiān)測統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，第天()的銷售價格(單位：元)為，第天的銷售量為，已知該商品成本為每件25元.

（Ⅰ）寫出銷售額關于第天的函數(shù)關系式；

（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；

（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤.

 

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⑴ 求，滿足的關系式；

⑵ 若上恒成立，求的取值范圍；

⑶ 證明：（）

 

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