Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接AC，CO，PO，

由ABCD是邊長為2的菱形，可得AB=BC=2，

又∠ABC=60°，可得△ABC為等邊三角形，

即有CO⊥AB，OC= ，

由PA⊥PB，可得OP= AB=1，

而PC=2，

由OP2+OC2=12+（ ）2=22=PC2，

可得CO⊥OP，

而AB，OP為相交二直線，可得CO⊥平面PAB，

又OC平面ABCD，

即有平面PAB⊥平面ABCD

（2）解：由PA=PB，可得PO⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABCD，則PO⊥平面ABCD，

直線OC，OB，OP兩兩垂直，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OP所在直線為x，y，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，

則O（0，0，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，1），B（0，1，0），

C（ ，0，0），D（ ，2，0），

可得 =（ ，0，﹣1）， =（0，1，1）， =（0，2，0），

設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為 =（x1，y1，z1），平面DPC的一個(gè)法向量為 =（x2，y2，z2），

由 可得 ，取z1= ，可得 =（1，﹣ ， ），

由 ，可得 ，取x2= ，可得 =（ ，0，3），

由題意可得二面角A﹣PC﹣D為銳角二面角，記為θ，

則cosθ=|cos＜ ， ＞|= = = ．

即有二面角A﹣PC﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）取AB的中點(diǎn)O，連接AC，CO，PO，運(yùn)用菱形和等邊三角形的性質(zhì)，以及線面垂直的判定定理，可得CO⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)定理，可得直線OC，OB，OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，分別求得O，A，P，B，C，D， ， ， 的坐標(biāo)， 設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為 =（x1 ， y1 ， z1），平面DPC的一個(gè)法向量為 =（x2 ， y2 ， z2），運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，求得一個(gè)法向量，再由向量的夾角公式計(jì)算即可得到所求值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直才能正確解答此題．