Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1為由曲線y=

x

，直線y=x-2及y軸所圍成圖形的面積的

3

32

倍S_n為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式an+an+1+an+2+…+a3n＞

a

24

對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用定積分可求得a₁=

1

2

，再利用遞推公式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

=

26

24

＞

a

24

，于是a＜26，據(jù)題意取a=25，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

即可．

解答：解：（1）依題意作圖如下：

∵圖中x軸下方的等腰直角三角形與x軸上方、直線x=4及直線y=x-2組成的等腰直角三角形全等，
∴a₁=

3

32

∫

4 0

x

dx=

3

32

×

2

3

x

3

2

|

|

4 0

=

1

2

，
∵S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，
∴a_n+1=a_n-a_n•a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，又a₁=

1

2

，故

1

a1

=2，
，∴{

1

an

}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

an

=2+（n-1）×1=n+1，
．∴an=

1

n+1

．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

1+3

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，
所以a＜26，而a是正整數(shù)，
所以取a=25，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+[

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

]．
因?yàn)?span id="wopzigi" class="MathJye">

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

，
所以

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
由（1）（2）知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

．
所以a的最大值等于25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法，利用定積分求得a₁=

1

2

是應(yīng)用遞推關(guān)系式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n的關(guān)鍵，通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理證明的能力，屬于難題．