如圖，在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，
 
且以B、C為焦點，已知

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求雙曲線E的方程；

（Ⅱ）是否存在過點D（1，1）的直線l，

使l與雙曲線E交于不同的兩點M、N，且

如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由.

（Ⅰ）（Ⅱ）不存在滿足條件的直線l.


解析:

（Ⅰ）以BC所在直線為x軸，線段BC的中點O為原點，線段BC的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系如圖.  設(shè)  2分

    則  兩式平方相加，得m=9.   ………2分

又兩式平方相加，得   2分

設(shè)雙曲線的方程為     由雙曲線的定義，

有2a=||AC|－|AB||=|m－5|=4，即a=2.    又2c=，即

∴b2=c2－a2=9.     ∴雙曲線E的方程為 ……2分

（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的直線l，使l與雙曲線E交于不同兩點M、N，

并設(shè)  由知點D是線段MN的中點，

∴  …………1分    由于點M、N都在雙曲線E上，

∴.    將兩式相減，得

此時直線l的方程為  ……3分

但由∴不存在滿足條件的直線l.  …2分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點，已知
AB
•
AC
=27，
CA
•
CB
=54．
（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求雙曲線E的方程；
（2）是否存在過點D（1，1）的直線l，使l與雙曲線交于不同的兩點M、N，且
DM
+
DN
=0．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天利38套《2008全國各省市高考模擬試題匯編　精華大字版》、數(shù)學(xué)理 題型：044

在面積為18的△ABC中，AB＝5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點，已知·＝27，·＝54．如圖，以BC所在直線為x軸，BC中點O為原點建立直角坐標(biāo)系．

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)是否存在過點D(1，1)的直線L，使L與雙曲線E交于不同的兩點M、N，且＋＝0，如果存在，求出L的方程；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點,已知=27，=54.

如圖，以BC所在直線為x軸，BC中點O為原點建立直角坐標(biāo)系.

(Ⅰ)求曲線E的方程；

(Ⅱ)是否存在過點D(1，1)的直線L，使L與雙曲線E交于不同的兩點M、N，且=0，如果存在，求出L的方程；如果不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2005年廣東省深圳市羅湖區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點，已知=27，=54．
（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求雙曲線E的方程；
（2）是否存在過點D（1，1）的直線l，使l與雙曲線交于不同的兩點M、N，且=0．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

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