Question

【題目】有以下命題：
①對(duì)任意的α∈R都有sin3α=3sinα﹣4sin3α成立；
②對(duì)任意的△ABC都有等式a=bcosA+ccosB成立；
③滿足“三邊是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；
④若A，B是鈍角△ABC的二銳角，則sinA+sinB＜cosA+cosB．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①對(duì)任意的α∈R都有sin3α=sin（α+2α）
=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα（cos2α﹣sin2α）+2sinαcos2α
=sinα（1﹣2sin2α）+2sinα（1﹣sin2α）
=3sinα﹣4sin3α，
故①正確；
②對(duì)任意的△ABC都有 =2R，
∴a=2RsinA
=2Rsin（B+C）
=2RsinBcosC+2RsinCcosB
=bcosC+ccosB，
故②正確；
③假設(shè)存在正整數(shù)k、k+1、k﹣1分別為三角形ABC的三邊長(zhǎng)，
且其對(duì)應(yīng)的角分別為A、B、C，
∴ =2R，
∵B=2C，
∴sinB=sin2C=2sinCcosC，
∴ = ，即cosC= + ，
又∵C＜A＜B，即C＜A＜2C，
∴36°＜C＜45°，
∴ ＜cosC＜ ，即 ＜ + ＜ ，
∴ ﹣ ＜ ＜ ﹣ ，
∴ +1＜k﹣1＜ 2，
∴ +2＜k＜ 3，
∴k=4或k=5，
經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)k=5時(shí)不滿足題意，
故③正確；
④∵A，B是鈍角△ABC的二銳角，
∴A+B＜90°，
∴0°＜B＜90°﹣A＜90°，
∴sinB＜sin（90°﹣A）=cosB，
同理cosA＞cos（90°﹣B）=sinA，
∴sinA+sinB＜cosA+cosB，
故④正確；
故選：A．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系即可以解答此題．