Question

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，
圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）過M點(diǎn)的直線l₁交圓于P、Q兩點(diǎn)，且圓孤PQ恰為圓周的

1

4

，求直線l₁的方程；
（Ⅱ）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且與圓O恰有兩個(gè)公共點(diǎn)的橢圓方程；
（Ⅲ）過M點(diǎn)的圓的切線l₂交（Ⅱ）中的一個(gè)橢圓于C、D兩點(diǎn)，其中C、D兩點(diǎn)在x軸上方，求線段CD的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）有題意及所給的圖形，分析出點(diǎn)O到直線的距離為

2

2

，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出直線關(guān)于斜率k的方程進(jìn)而求解即可；
（Ⅱ）由題意，設(shè)出所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程利用已知條件建立未知量的方程求解就行了；
（Ⅲ）由題意設(shè)出直線l₂的方程，與（Ⅱ）中的橢圓方程聯(lián)立，設(shè)出點(diǎn)C與D的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵PQ為圓周的

1

4

，∴∠POQ=

π

2

．∴O點(diǎn)到直線l₁的距離為

2

2

．
設(shè)l₁的方程為y=k（x+2），∴

|2k|

k2+1

=

2

2

，∴k2=

1

7

．∴l(xiāng)₁的方程為y=±

7

7

(x+2)．

（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，則

a2

c

=2．
∵橢圓與圓O恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則a=1或b=1．
當(dāng)a=1時(shí)，c=

1

2

，b2=a2-c2=

3

4

，∴所求橢圓方程為x2+

4y2

3

=1；
當(dāng)b=1時(shí)，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2．∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．

（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)為N，則由題意得，橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
∴l(xiāng)₂的方程為y=

3

3

(x+2)，代入橢圓

x2

2

+y2=1中，整理得5x²+8x+2=0．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=-

8

5

，x1x2=

2

5

．∴CD=

(1+ 1 3 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 ( 64 25 - 8 5 )

=

4

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：（Ⅰ）此問重點(diǎn)考查了方程的思想，還考查了利用已知條件建立未知量的方程及解方程的技巧；
（Ⅱ）問重點(diǎn)考查了方程的思想，還考查了橢圓的基本性質(zhì)；
（Ⅲ）問重點(diǎn)考查了直線與橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立及整體代換的思想，還考查了兩點(diǎn)間的距離公式．