Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點A，PA=AB=1，點M，N分別是PD，PB的中點．
（I）求證：PB∥平面ACM；
（II）求證：MN⊥平面PAC；
（III）若

PF

=2

FC

，求平面FMN與平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，證明PB平行于平面ACM內的一條直線即可；
（II）先證明BD⊥平面PAC，再證明MN∥BD，即可得到結論；
（III）以A為原點，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求出平面MNF的法向量、平面ABCD的法向量，利用向量的夾角公式即可求得平面FMN與平面ABCD所成二面角的余弦值．

解答：（I）證明：連接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O
∵點O，M分別是PD，BD的中點
∴MO∥PB，PB?平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，點M，N分別是PD，PB的中點，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）解：PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，故以A為原點，建立空間直角坐標系
由

PF

=2

FC

可得A(0，0，0)，M(0，

1

2

，

1

2

)，N(

1

2

，0，

1

2

)，F(

2

3

，

2

3

，

1

3

)
設平面MNF的法向量為 

n

=（x，y，z）
∵

NM

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

NF

=(

1

6

，

2

3

，-

1

6

)…（11分）
∴

- x 2 + y 2 =0 x 6 + 2y 3 - z 6 =0

，解得：

y=x z=5x

令x=1，可得

n

=（1，1，5）…（13分）
∵平面ABCD的法向量為

AP

=(0，0，1)∴cos＜

AP

，n＞=

5

27

=

5 27

27

…（14分）

點評：本題考查線面平行、線面垂直、考查面面角，解題的關鍵是掌握線面平行、線面垂直的判定定理，正確運用向量法求面面角．