Question

如圖,P—ABCD是正四棱錐,ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方體,其中AB=2,PA= .

(1)求證:PA⊥B₁D₁;

(2)求平面PAD與平面BDD₁B₁所成的銳二面角的大小;

(3)求B₁到平面PAD的距離.

 

Answer 1

解法一:(1)以D₁為原點(diǎn),D₁A₁為x軸,D₁C₁為y軸,DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,D₁(0,0,0),A₁(2,0,0),B₁(2,2,0),C₁(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).

∵=(-1,1,2),=(2,2,0),

∴·=0,

即PA⊥D₁B₁.

(2)平面BDD₁B₁的法向量為=(-2,2,0),=(2,0,0),=(1,1,2),

設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z),則n⊥且n⊥,

∴取n=(0,2,-1),

設(shè)所求的銳二面角為θ,則

cosθ=||=,

θ=arccos.

(3)=(2,2,-2),設(shè)所求的距離為d,

則d=||=.

解法二:(1)連結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,連結(jié)PO,則PO⊥平面ABCD.

又∵AC⊥BD,∴PA⊥BD.

∵BD∥B₁D₁,∴PA⊥B₁D₁.

(2)∵AO⊥BD,∴AO⊥PO.∴AO⊥平面PBD.

過點(diǎn)O作OM⊥PD于點(diǎn)M,連結(jié)AM,則AM⊥PD.

∴∠AMO就是二面角APDO的平面角.

∵AB=2,PA=,

∴AO=,PO==2,OM===.

∴tan∠AMO=,

即二面角的大小為arctan.

(3)用體積法求解:連結(jié)B₁P,B₁D,B₁A,

則h·S_△PAD=AO·,

即有h··2·=···,

解得h=,即B₁到平面PAD的距離為.