Question

通過研究函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在實數(shù)范圍內(nèi)的零點個數(shù)，進一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在實數(shù)范圍內(nèi)的零點個數(shù)為

 

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Answer 1

分析：對函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1進行求導(dǎo)，求得函數(shù)的極值，單調(diào)性，判斷零點個數(shù)，對于函數(shù)g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同樣的方法可得，注意計算時整體代換．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0時，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+

1

2

x-5x²+

3

2

x-1，
=

1

2

（4x³-10x+1）-5x²+

3

2

x-1=-5x²+

3

2

x-1，
由于判別式△＜0，所以，f（x）的所有極值均是負數(shù)．
又因為當(dāng)x趨向于負無窮和正無窮時均為無窮大，
所以，零點有兩個．
對任意g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）
也有，g'（x）=0時有，
g（x）=（

20

n

-10）x²+（2-

2

n

）x-1
可知n＞3時，其判別式△＜0
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，有兩個零點
n為奇數(shù)時，有3個零點，
故答案為

2，n為偶數(shù)時 3，n為奇數(shù)時

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點評：此題是個中檔題．考查函數(shù)零點判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等問題，同時考查學(xué)生靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和計算能力．