Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)是

3

，側(cè)棱長(zhǎng)是3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
①求證：A₁C⊥面AEF；
②延伸平面AEF與CC₁交于點(diǎn)M，求平面AEF與平面ABD所成的二面角；
③求多面體ABCD-EFM的體積．

Answer 1

分析：①根據(jù)三垂線定理逆定理，先利用AC₁在平面A₁B上的射影為A₁B以及A₁B⊥AE得到A₁C⊥AE；同理A₁C⊥AF．即可證A₁C⊥平面AEF；
②延長(zhǎng)ME，CB交于點(diǎn)G，連AG，則AG為平面AEF與平面ABD的交線，易證得AG∥BD，連AC，連AM，則∠MAC為所求二面角的平面角．
③將多面體ABCD-EFM進(jìn)行割補(bǔ)．過EF作面ENFH∥面ABCD，分別交AA₁、CC₁于H、N．則V_M-EFN=V_A-EFH，于是利用V_ABCD-EFM=V_ABCD-HENF求解．

解答：解：①證明：∵CB⊥平面A₁B，
∴AC₁在平面A₁B上的射影為A₁B．
又A₁B⊥AE，AE?平面A₁B，
由三垂線定理逆定理，
∴A₁C⊥AE．同理A₁C⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴A₁C⊥平面AEF． 
（2）延長(zhǎng)ME，CB交于點(diǎn)G，連AG，則AG為平面AEF與平面ABD的交線．
由題可得

∠A1AB=∠ABE ∠AA1B=∠BAE

，所以△A₁AB∽△ABE，

A1A

AB

=

AB

BE

，BE=

AB2

A1A

=

( 3 )2

3

=1，同理求得DF=1．
∴BE=FD，又∵BE∥FD，∴四邊形BEFD為平行四邊形，∴EF∥BD．
∵EF?平面ABD，BD?平面ABD，根據(jù)直線和平面平行的判定定理，得出EF∥平面ABD，∵EF?平面AEF，平面AEF∩平面ABD=AG，利用直線和平面平行的判定定理得出EF∥AG．∴AG∥BD，且B為GC中點(diǎn)．
連接AC，連AM，由BD⊥AC，BD⊥AM，得出AG⊥AC，AG⊥AM，所以∠MAC為所求二面角的平面角．
在RT△MAC中，MC=2BE=2，AC=

2

•

3

=

6

，tan∠MAC=

MC

AC

=

2

6

=

6

3

，
∴∠MAC=arctan

6

3

．
（3）過EF作面ENFH∥面ABCD，分別交AA₁、CC₁于H、N
則V_M-EFN=V_A-EFH∴V_ABCD-EFM=V_ABCD-HENF=3×2=6．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線和平面垂直的判定和性質(zhì)以及無棱二面角求解，不規(guī)則幾何體體積計(jì)算．考查空間想象能力、推理論證能力運(yùn)算求解能力．無棱二面角求解一般要進(jìn)行平面延展，得出棱．