Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段AC₁上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=

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．給出下列四個結(jié)論：
①CE⊥BD；
②三棱錐E-BCF的體積為定值；
③△BEF在底面ABCD內(nèi)的正投影是面積為定值的三角形；
④在平面ABCD內(nèi)存在無數(shù)條與平面DEA₁平行的直線
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由BD⊥平面ACC₁，知BD⊥CE；
由點(diǎn)C到直線EF的距離是定值，點(diǎn)B到平面CEF的距離也是定值，知三棱錐B-CEF的體積為定值；
線段EF在底面上的正投影是線段GH，故△BEF在底面ABCD內(nèi)的投影是△BGH，由此能導(dǎo)出△BGH的面積是定值；
設(shè)平面ABCD與平面DEA₁的交線為l，則在平面ABCD內(nèi)與直線l平行的直線有無數(shù)條．

解答：解：∵BD⊥平面ACC₁，
∴BD⊥CE，故①正確；
∵點(diǎn)C到直線EF的距離是定值，點(diǎn)B到平面CEF的距離也是定值，
∴三棱錐B-CEF的體積為定值，故②正確；
線段EF在底面上的正投影是線段GH，
∴△BEF在底面ABCD內(nèi)的投影是△BGH，
∵線段EF的長是定值，
∴線段GH是定值，從而△BGH的面積是定值，故③正確；
設(shè)平面ABCD與平面DEA₁的交線為l，則在平面ABCD內(nèi)與直線l平行的直線有無數(shù)條，故④對．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，要熟練掌握棱柱的結(jié)構(gòu)特征．