Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率的積為定值-

1

2

．
（1）試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C交于M．N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=

4 2

3

時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用動(dòng)點(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率的積為定值-

1

2

，建立方程，化簡(jiǎn)可求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C．
（Ⅱ）直線l：y=kx+1與曲線C方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算弦長(zhǎng)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），由題意得：k_PAk_PB=-

1

2

∴

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，化簡(jiǎn)，整理得

x2

2

+y2=1
故P點(diǎn)的軌跡方程是

x2

2

+y2=1，（x≠±

2

）
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2+2y2=2

得，（1+2k²）x²+4kx=0
∴x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁ x₂=0，
|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

3

，
整理得，k⁴+k²-2=0，解得k²=1，或k²=-2（舍）
∴k=±1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．
∴直線l的方程是y=±x+1，即：x-y+1=0或x+y-1=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．