分析:(1)將直線的點斜式方程(其中斜率為參數(shù))代入橢圓方程,并設(shè)出交點A,B的坐標,消去Y后,可得一個關(guān)于X的一元二次方程,然后根據(jù)韋達定理(一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系)易得A、B兩點中點的坐標表達式,再由AB中點的橫坐標是
-,構(gòu)造方程,即可求出直線的斜率,進而得到直線的方程.
(2)由M點的坐標,我們易給出兩個向量的坐標,然后代入平面向量數(shù)量集公式,結(jié)合韋達定理(一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系),不難不求出
•的值.
解答:解:(Ⅰ)依題意,直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1),
將y=k(x+1)代入x
2+3y
2=5,消去y整理得(3k
2+1)x
2+6k
2x+3k
2-5=0.
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則
| △=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,(1) | x1+x2=-.(2) |
| |
由線段AB中點的橫坐標是
-,得
=-=-,
解得
k=±,適合(1).
所以直線AB的方程為
x-y+1=0,或
x+y+1=0.
(Ⅱ)①當直線AB與x軸不垂直時,由(Ⅰ)知
x1+x2=-,x1x2=.(3)所以
•=(x1+)(x2+)+y1y2=(x1+)(x2+)+k2(x1+1)(x2+1)=
(k2+1)x1x2+(k2+)(x1+x2)+k2+.將(3)代入,整理得
•=(k2+1)(3k2-5)+(k2+)(-6k2) |
3k2+1 |
+k2+=
.②當直線AB與x軸垂直時,此時點A,B的坐標分別為
(-1,)、(-1,-),
此時亦有
•=.綜上,
•=. 點評:與直線和圓錐曲線的位置關(guān)系有關(guān)的參數(shù)范圍問題,常采用解方程組的思想方法,轉(zhuǎn)化為判別式進行;與向量數(shù)量積有關(guān)的問題,常常利用韋達定理,以整體代入的方法求解,這樣可以避免求交點,使運算過程得到簡化.