Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，且經過點，斜率為的直線經過點，與橢圓交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；實數的取值范圍是

【解析】

（1）根據橢圓定義計算，再根據，，的關系計算即可得出橢圓方程；（2）設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據根與系數的關系求出的中點坐標，求出的中垂線與軸的交點橫，得出關于的函數，利用基本不等式得出的范圍．

（1）由題意可知，，．

又，

，，

橢圓的方程為：．

（2）若存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，

則為線段的中垂線與軸的交點．

設直線的方程為：，，，，，

聯(lián)立方程組，消元得：，

△，又，故．

由根與系數的關系可得，設的中點為，，

則，，

線段的中垂線方程為：，

令可得，即．

，故，當且僅當即時取等號，

，且．

的取值范圍是，．