已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-
π
6
)
,x∈R.
(1)求使函數(shù)f(x)取得最大值﹑最小值的自變量x的集合,并分別寫出最大值﹑最小值是什么;
(2)函數(shù)f(x)的圖象經過怎樣的平移可使其對應的函數(shù)成為偶函數(shù)?請寫出一種正確的平移方法,并說明理由;
(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-
π
12
,
π
2
]
上的值域.
分析:(1)利用正弦函數(shù)的最值,求出函數(shù)的最大值、最小值及取得最大值、最小值的對應自變量x取值集合;
(2)根據左加右減法則和誘導公式,對解析式進行變形即可;
(3)由x得范圍求出2x-
π
6
范圍,根據正弦函數(shù)的性質求出最大值、最小值,即求出函數(shù)的值域.
解答:解:(1)當2x-
π
6
=
π
2
,即x=
π
3
+kπ
(k∈z)時,
此時sin(2x-
π
6
)
=1,f(x)取得最大值是2,
使f(x)取得最大值的自變量x的集合是{x|x=
π
3
+kπ
,k∈z},
2x-
π
6
=-
π
2
,即x=-
π
6
+kπ
(k∈z)時,
此時sin(2x-
π
6
)
=-1,f(x)取得最小值是-2,
使f(x)取得最小值的自變量x的集合是{x|x=-
π
6
+kπ
,k∈z},
(2)把函數(shù)f(x)的圖象向左平移
π
3
個單位長度,可使其對應的函數(shù)g(x)成為偶函數(shù); 
因為g(x)=f(x+
π
3
)=2sin(2(x+
π
3
)-
π
6
)
=2sin(2x+
π
2
)=2cos2x
,所以g(x)為偶函數(shù).
(或:函數(shù)f(x)的圖象向右平移
π
6
個單位長度)
(3)因為-
π
12
≤x≤
π
2
,即-
π
3
≤2x-
π
6
6
,

2x-
π
6
=-
π
3
,即x=-
π
12
時,f(x)min=2sin(-
π
3
)=-
3
;

2x-
π
6
=
π
2
,即x=
π
3
時,f(x)max=2sin(
π
2
)=2
;

所以,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-
π
12
,
π
2
]
上的值域是[-
3
,2]
點評:本題主要考查復合函數(shù)的單調性,三角函數(shù)圖象的變換,關鍵是利用正弦函數(shù)的單調性、最值,考查整體思考和計算能力.
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x
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