Question

設函數f(x)＝(x2＋ax＋b)ex(x∈R)．

(1)若a＝2，b＝－2，求函數f(x)的極大值；

(2)若x＝1是函數f(x)的一個極值點．

①試用a表示b；

②設a＞0，函數g(x)＝(a2＋14)ex＋4.若?ξ1、ξ2∈[0，4]，使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（2）①b＝－3－2a②1－＜a＜1＋.

【解析】(1)∵f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋b)ex＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]ex，

當a＝2，b＝－2時，f(x)＝(x2＋2x－2)ex，

則f′(x)＝(x2＋4x)ex，

令f′(x)＝0得(x2＋4x)ex＝0，

∵ex≠0,∴x2＋4x＝0，解得x＝－4或x＝0，

列表如下：

x	(－∞，－4)	－4	(－4，0)	0	(0，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

∴當x＝－4時，函數f(x)取極大值，f(x)極大值＝.

(2)①由(1)知f′(x)＝[x2＋(2＋a)x＋(a＋b)]ex.

∵x＝1是函數f(x)的一個極值點，∴f′(1)＝0，

即e[1＋(2＋a)＋(a＋b)]＝0，解得b＝－3－2a.

②由①知f′(x)＝ex[x2＋(2＋a)x＋(－3－a)]＝ex(x－1)[x＋(3＋a)]，

當a＞0時，f(x)在區(qū)間(0，1)上的單調遞減，在區(qū)間(1，4)上單調遞增，

∴函數f(x)在區(qū)間[0，4]上的最小值為f(1)＝－(a＋2)e.

∵f(0)＝b＝－3－2a＜0，f(4)＝(2a＋13)e4＞0，

∴函數f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[f(1)，f(4)]，

即[－(a＋2)e，(2a＋13)e4]．

又g(x)＝(a2＋14)ex＋4在區(qū)間[0，4]上是增函數，且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[(a2＋14)e4，(a2＋14)e8]，

∴(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＝(a2－2a＋1)e4＝(a－1)2e4≥0，

∴存在ξ1、ξ2∈[0，4]使得|f(ξ1)－g(ξ2)|＜1成立只須(a2＋14)e4－(2a＋13)e4＜1?(a－1)2e4＜1(a－1)2＜?1－＜a＜1＋.