Question

已知f（x）=ax-

2

x

-3lnx，其中a為常數．
（Ⅰ）當函數f（x）的圖象在點（

2

3

，f（

2

3

））處的切線的斜率為1時，求函數f（x）在[

3

2

，3]上的最小值；
（Ⅱ）若函數f（x）在（0，+∞）上既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，過點P（1，-4）作函數F（x）=x²[f（x）+3lnx-3]圖象的切線，試問這樣的切線有幾條？并求這些切線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導數f′（x），由f（x）的圖象在點（

2

3

，f（

2

3

））處的切線的斜率為1，得f′(

2

3

)=1，可得a的方程，解出a可得f（x），由導數可求得函數的極小值，同時也為最小值；
（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上既有極大值也有極小值，等價于f′（x）=0有兩個不等正實根，從而可化為二次方程根的分布問題，根據兩根之和、兩根之積大于0及判別式符號可得不等式組；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f（x），從而可得F（x），F′（x），分P為切點，P不為切點兩種情況討論，當P為切點時，斜率k=F′（1），由點斜式可得切線方程；當P不為切點時，由兩點連線的斜率公式及斜率相等可得方程，解出即可；

解答：解：f′(x)=a+

2

x2

-

3

x

，
∵f（x）的圖象在點（

2

3

，f（

2

3

））處的切線的斜率為1，
∴f′(

2

3

)=1，即a+

2

( 2 3 )2

-

3

2 3

=1，化簡，得a=1，
故f（x）=x-

2

x

-3lnx，f′(x)=

(x-1)(x-2)

x2

，當

3

2

≤x＜2時，f′（x）＜0，當2＜x≤3時，f′（x）＞0，
∴x=2是f（x）的極小值點，也是最小值點，
∴f（x）_min=f（2）1-3ln2；
（Ⅱ）f′（x）=a+

2

x2

-

3

x

=

ax2-3x+2

x2

（x＞0），
∵f（x）在（0，+∞）上既有極大值也有極小值，
∴f′（x）=0即ax²-3x+2=0有兩個不等的正實根，不妨設這兩個正實根為x₁、x₂，并令h（x）=ax²-3x+2，則

△=9-8a＞0 x1+x2= 3 a ＞0 x1x2= 2 a ＞0

，解得0＜a＜

9

8

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=x-

2

x

-3lnx，
故F（x）=x³-3x²-2x（x＞0），F′（x）=3x²-6x-2（x＞0），
設切點為T（x₀，y₀），由于點P在函數F（x）的圖象上，
則（1）當切點T不與點P（1，-4）重合，即當x₀≠1時，
由于切線過點P（1，-4），則

y0+4

x0-1

=3x02-6x0-2，
∴x03-3x02-2x0+4=(x0-1)(3x02-6x0-2)，化簡得x03-3x02+3x0-1=0，即(x0-1)3=0，解得x₀=1（舍去）；
（2）當切點T與點P（1，-4）重合，即x₀=1時，
則切線的斜率k=F′（1）=-5，于是切線方程為5x+y-1=0，
綜上所述，滿足條件的切線只有一條，其方程為5x+y-1=0．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的極值，考查分類討論思想，考查學生的運算能力及分析解決問題的能力．