Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)．
（3）求函數(shù)f（x）的最小值g（a），并求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²+1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在[-5，5]上的最值．
（2）根據(jù)y=f（x）的對(duì)稱軸為x=-a，且在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，可得-a≤-5，或-a≥5，由此求得a的范圍．
（3）由于y=f（x）=（x+a）²+2-a² 的對(duì)稱軸為x=-a，再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得g（a）的解析式，從而求得g（a）的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+2ax+2=x² -2x+2=（x-1）²+1，
再由x∈[-5，5]，可得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)取得最大值為37．
（2）∵y=f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的對(duì)稱軸為x=-a，
且在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，可得-a≤-5，或-a≥5．
解得a≥5，或 a≤-5，故a的范圍為[5，+∞）∪（-∞，-5]．
（3）由于y=f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的對(duì)稱軸為x=-a，
故當(dāng)-5≤-a≤5時(shí)，即-5≤a≤5時(shí)，f（x）在區(qū)間[-5，5]上最小值g（a）=2-a²．
當(dāng)-a＜-5時(shí)，即a＞5時(shí)，由于f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞增，g（a）=f（-5）=27-10a，
當(dāng)-a＞5時(shí)，即a＜-5時(shí)，由于f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞減，g（a）=f（5）=27+10a．
綜上，g（a）=

27+10a ， a＜-5 2-a2 ， -5≤a≤5 27-10a ， a＞5

．
當(dāng)a＜-5時(shí)，g（a）＜-23； 當(dāng)-5≤a≤5 時(shí)，-23≤g（a）≤2；當(dāng)a＞5時(shí)，g（a）＜-23．
綜合可得，g（a）的最大值為2，此時(shí)，a=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．