Question

【題目】（本小題滿分13分）設(shè)關(guān)于的一元二次方程 （）有兩根和，且滿足．

（1）試用表示；

（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）由韋達(dá)定理可得，，代入已知和關(guān)系式可得與的關(guān)系式．（2）由（1）中所得的與的關(guān)系式，根據(jù)等比數(shù)列的定義證為常數(shù)．（3）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可先求得，從而可得．根據(jù)分組求和及錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和．

試題解析：解：（1）根據(jù)韋達(dá)定理，得，，

由

得 ，故

（2）證明：，

若，則，從而，

這時(shí)一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故，

所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．

（3）設(shè)，則數(shù)列是公比的等比數(shù)列，

又，

所以，

所以，．

則由錯(cuò)位相減法可得．