已知常數(shù)a＞0，向量c＝(0，a)，i＝(1，0)，經(jīng)過原點O以c＋λi為方向向量的直線與經(jīng)過定點A(0，a)，以i－2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得||＋||為定值？若存在，求出E、F的坐標；請若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　解：∵c＋λi＝(0，a)＋λ(1，0)＝(λ，a)，

　　i－2λc＝(1，0)－2λ(0，a)＝(1，－2λa)，

　　∴直線OP與AP的方程分別為

　　λy＝ax和y－a＝－2λax，式中a＞0，λ∈R．

　　消去實數(shù)λ，得點P(x，y)的坐標滿足方程y(y－a)＝－2a2x2，

　　整理，得＝1，①

　　∵a＞0，所以得

　　(1)當(dāng)a＝時，方程①是圓的方程，故不存在合乎題意的定點E和F．

　　(2)當(dāng)0＜a＜時，方程①表示橢圓，故焦點E()和F()為合乎題意的兩個定點．

　　(3)當(dāng)a＞時，方程①也表示橢圓，故焦點E(0，)和F(0，)為合乎題意的兩個定點．


提示：

利用消元法，從求P點的軌跡方程入手，進而討論軌跡方程的性質(zhì)，便可獲得本題的答案．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知常數(shù)a＞0，向量
c
=（0，a），
i
=（1，0），經(jīng)過原點O以
c
+λ
i
，為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以i-2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知常數(shù)a＞0，向量
m
=（0，a），
n
=（1，0）經(jīng)過定點A（0，-a）以
m
+λ
n
為方向向量的直線與經(jīng)過定點B（0，a）以
n
+2λ
m
為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．
（I）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若a=
2
2
，過E（0，1）的直線l交曲線C于M、N兩點，求
EM
•
EN
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知常數(shù)a＞0，向量
m
=（0，a），
n
=（1，0），經(jīng)過定點A（0，-a）以
m
+λ
n
為方向向量的直線與經(jīng)過定點B（0，a）以
n
+2λ
m
為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．求動點P所形成的曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2003年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知常數(shù)a＞0，向量=（0，a），=（1，0），經(jīng)過原點O以+λ，為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以i-2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2003年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知常數(shù)a＞0，向量=（0，a），=（1，0），經(jīng)過原點O以+λ，為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以i-2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．

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