Question

已知直線l：

2x

a

+

y

b

=2(a＞2，b＞1)與曲線x²+y²-2x-2y+1=0相切且直線l交與x軸交于A點，交y軸于點B，則△AOB面積的最小值為______．

Answer 1

將圓C的方程化為標準式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圓心C（1，1），半徑r=1
∵直線l：

2x

a

+

y

b

=2(a＞2，b＞1)，
∴A（a，0），B（0，2b），
圓心C（1，1）到直線AB的距離d=r=1即

|2b+a-2ab|

a2+4b2

=1，兩邊平方化簡得（a-2）（b-1）=1；
由a＞2，b＞1，可設a-2=m＞0，b-1=n＞0，且mn=1，
所以S_△AOB=ab=（m+2）（n+1）=mn+m+2n+2≥mn+2

2mn

+2=3+2

2

，當且僅當m=n即a=b+1時取等號．
所以三角形AOB面積的最小值為3+2

2

故答案為：3+2

2